Mathematics

PM-70: Doira va aylana; π qayerdan chiqqan

Aylana bilan doira bir narsa emas. Markaz, radius, diametr, vatar va yoy nima ekanini, hamda dunyodagi har qanday aylanada bir xil chiqadigan sirli son — π ni koʻrasiz.

powerty

Aug. 16, 2026

4 6 min 0

PM-70: Doira va aylana; π qayerdan chiqqan

Gʻildirak, tarelka, non, soat, tanga, quduq ogʻzi. Odam yasagan narsalarning eng foydalisi — dumaloq narsa. Uni oʻlchash uchun esa butun bir son kifoya qilmaydi.

Bu darsda biz shu sonni topamiz. U taxminan 3,14 ga teng va uning tarixi toʻrt ming yil davom etadi.

Bu darsda siz

aylana bilan doirani bir-biridan ajratasiz;
markaz, radius, diametr, vatar va yoyni nomlaysiz;
d = 2r munosabatini ikki tomonga ham ishlatasiz;
π nima ekanini va u qayerdan chiqqanini bilib olasiz.

Doirada d = 2 × r va π = L ÷ d ≈ 3,14

1. Aylana va doira — bir narsa emas

Ikkalasi ham dumaloq, lekin ular boshqa-boshqa narsalar. Farqi xuddi perimetr bilan yuzaning farqi kabi (PM-67, PM-68).

Aylana — faqat chegara chizigʻi. Doira — oʻsha chiziq va uning ichidagi hamma nuqta.

Ikki taʼrif

Aylana — markazdan bir xil uzoqlikda turgan nuqtalardan tuzilgan chiziq.
Doira — aylana va uning ichidagi hamma joy.

Hovlini tasavvur qiling: panjara — aylana, hovlining oʻzi — doira. Panjara metrlab oʻlchanadi, hovli esa kvadrat metrlab.

2. Doiraning qismlari

Markaz O, radius r, diametr d, vatar va yoy — doiraning besh atamasi.

Atama	Bu nima	Belgisi
Markaz	hamma nuqtadan bir xil uzoqlikdagi nuqta	O
Radius	markazdan aylanagacha boʻlgan kesma	r
Diametr	markazdan oʻtib, aylanani kesib oʻtuvchi kesma	d
Vatar	aylananing ikki nuqtasini tutashtiruvchi kesma	—
Yoy	aylananing bir boʻlagi	—

Diametr — eng uzun vatar, chunki u markazdan oʻtadi. Va u aynan ikkita radiusdan iborat:

d = 2 × r Diametr ikkita radius

r = d ÷ 2 Teskarisi ham shunday

r = 7 sm → d = 2 × 7 = 14 sm

Radiusi 7 santimetr boʻlgan doiraning diametri — 14 santimetr.

d = 30 sm → r = 30 ÷ 2 = 15 sm

Diametri 30 santimetr boʻlgan tarelkaning radiusi — 15 santimetr.

Radiusni diametr bilan chalkashtirmang

Masalada koʻpincha bittasi berilib, ikkinchisi soʻraladi. Yozib qoʻying: radius kichik, diametr katta — diametr ikki barobar. Agar javobingiz berilgan sondan kichik chiqishi kerak boʻlsa-yu, katta chiqsa, ikkalasini almashtirib yuborgansiz.

3. Tajriba: har doim uch yarim marta emas, uch butun oʻn toʻrt

Oddiy tajriba. Uch xil dumaloq narsani oling. Har birining diametrini chizgʻich bilan, aylanasining uzunligini esa ip bilan oʻlchang (ipni oʻrab chiqib, keyin uni yozib oʻlchang). Soʻng uzunlikni diametrga boʻling.

Buyum	Diametr d	Aylana uzunligi L	L ÷ d
Stakan	8 sm	25,1 sm	3,14
Tarelka	24 sm	75,4 sm	3,14
Gʻildirak	60 sm	188,5 sm	3,14

Buyumlar butunlay boshqa, oʻlchamlari boshqa — lekin oxirgi ustun bir xil. Bu tasodif emas.

π ning taʼrifi

Dunyodagi har qanday aylananing uzunligi oʻz diametridan necha marta katta boʻlsa, oʻsha son — π (pi deb oʻqiladi).
π = L ÷ d ≈ 3,14

Demak har qanday dumaloq narsaning atrofi uning enidan biroz kamroq uch yarim marta uzun. Ipni gʻildirakka oʻrasangiz, u diametrning uch nusxasidan sal koʻproq ketadi.

4. π ning tarixi

Bu son biror kishi tomonidan oʻylab topilmagan — u topilgan, va uni topishga toʻrt ming yil ketgan.

Qachon	Kim	π uchun olingan qiymat
~1800-yil m.a.	Bobil	3,125
~1650-yil m.a.	Misr, Ahmes papirusi	3,16
~250-yil m.a.	Arximed	3,1408 … 3,1429
1424-yil	Jamshid al-Koshiy, Samarqand	16 xonagacha aniq

Arximed hiyla ishlatgan: aylananing ichiga va tashqarisiga koʻp tomonli shakllar chizgan. Ichkaridagi shaklning perimetri aylanadan kichik, tashqaridagisiniki katta — demak π shu ikkisining orasida. Tomonlar sonini 96 taga yetkazib, u π ni ikki tomondan siqib qoʻygan.

Eng hayratlanarlisi bizga yaqin joyda boʻlgan. Jamshid al-Koshiy Samarqandda, Ulugʻbek rasadxonasida ishlagan va 1424-yilda π ni 16 xona aniqlikda hisoblab chiqqan. Bu rekord dunyoda qariyb 180 yil buzilmagan.

π hech qachon tugamaydi

π = 3,14159265… — uning oʻnlik yozuvi cheksiz va hech qachon takrorlanmaydi. Uni hech qanday kasr bilan aniq yozib boʻlmaydi. Shuning uchun uni harf bilan belgilashadi: yozib boʻlmaydigan sonning nomi.

5. Amalda qanday ishlatiladi

Hisobda π oʻrniga 3,14 olinadi — maktab uchun ham, usta uchun ham shu kifoya. Baʼzan ²²/₇ ham ishlatiladi: 22 ÷ 7 = 3,142857… — u ham 3,14 ga juda yaqin.

π = L ÷ d degani shuni ham bildiradi: agar aylananing uzunligini bilsak, diametrni topa olamiz — buning uchun uzunlikni π ga boʻlish kerak.

L = 157 sm, d = 157 ÷ 3,14 = 50 sm

Atrofi 157 santimetr boʻlgan doiraning diametri — 50 santimetr.

Tekshirish: 50 × 3,14 = 157 ✓

Matnli masala

Maktabga dumaloq stol sovgʻa qilishdi. Uni oʻlchash uchun Sherbek stolning chetidan ip oʻrab chiqdi va ipni yozib oʻlchadi: 314 santimetr. Sinf eshigining eni 90 santimetr.

Stol eshikdan tik holatda oʻtadimi?

Reja: ip — aylananing uzunligi. Undan diametrni topamiz va eshikning eni bilan solishtiramiz.

Taxmin Atrofi diametrdan taxminan 3 marta uzun, demak diametr 314 ning uchdan biri atrofida — 100 ga yaqin.

L = 314 sm Ip — aylananing uzunligi

d = L ÷ π = 314 ÷ 3,14 π = L ÷ d munosabatini teskari oʻgirdik

d = 100 sm Stolning eni bir metr

100 > 90 — oʻtmaydi Stol eshikdan 10 santimetrga keng

Tekshiramiz

100 × 3,14 = 314 ✓ — ipning uzunligi joyida.
Javob: tik holatda oʻtmaydi; stolni yonboshlatib kiritish kerak. Uning radiusi esa 100 ÷ 2 = 50 sm.

Koʻp uchraydigan xatolar

d = 10 sm, demak r = 20 sm

r = 10 ÷ 2 = 5 sm

Diametr — kattasi, radius — kichigi. Diametr ikkita radiusdan iborat, teskarisi emas.

π = 3,14 — aniq shuncha

π ≈ 3,14

3,14 — bu faqat yaxlitlangan qiymat (PM-14). π ning oʻzi cheksiz: 3,14159265… Shuning uchun javoblar ham taxminiy chiqadi.

Doiraning uzunligi 157 sm

Aylananing uzunligi 157 sm

Uzunlik chiziqqa tegishli, yaʼni aylanaga. Doira — yuzasi bor shakl. Panjara uzun boʻladi, hovli emas.

L = 157, d = 50 → π = 50 ÷ 157 = 0,32

π = 157 ÷ 50 = 3,14

Boʻlish teskari qilingan. π 1 dan katta: aylana har doim diametrdan uzun, aksincha emas.

Mashq

1. Doiraning radiusi 9 sm. Diametri qancha?

Javobni koʻrish

18 sm. d = 2 × 9 = 18.

2. Doiraning diametri 26 m. Radiusi qancha?

Javobni koʻrish

13 m. r = 26 ÷ 2 = 13.

3. Aylananing uzunligi 157 sm, diametri 50 sm. L ni d ga boʻlsangiz nima chiqadi?

Javobni koʻrish

3,14 — yaʼni π. 157 ÷ 50 = 3,14. Qanday aylana olsangiz ham, natija oʻsha boʻladi.

4. ²²/₇ ni oʻnlik kasrga aylantiring. U π ga yaqinmi?

Javobni koʻrish

3,142857… — ha, juda yaqin. 22 ÷ 7 = 3,142857…, π esa 3,141592… Farqi mingdan bir ulushdan ham kam, shuning uchun uni qadimda π oʻrnida ishlatishgan.

5. Quduq ogʻzining atrofi 219,8 sm. Uning diametri qancha?

Javobni koʻrish

70 sm. d = 219,8 ÷ 3,14 = 70. Tekshirish: 70 × 3,14 = 219,8 ✓

6. Bekzod dumaloq gilam sotib olmoqchi. Sotuvchi «radiusi 80 sm» dedi. Xonaning boʻsh joyi esa 1,5 metr. Gilam bu joyga sigʻadimi?

Javobni koʻrish

Sigʻmaydi. Gilam qancha joy egallashini radius emas, diametr koʻrsatadi: d = 2 × 80 = 160 sm. Boʻsh joy esa 1,5 m = 150 sm. 160 > 150, demak 10 santimetrga sigʻmaydi. Faqat radiusga qarab «80 < 150, sigʻadi» deyish — eng koʻp uchraydigan xato.

Kalit soʻzlar

Aylanamarkazdan bir xil uzoqlikdagi nuqtalar chizigʻi; ingl. circle
Doiraaylana va uning ichi; ingl. disc
Markazdoiraning oʻrtasidagi nuqta; ingl. centre
Radiusmarkazdan aylanagacha masofa; ingl. radius
Diametrmarkazdan oʻtgan eng uzun kesma, d = 2r; ingl. diameter
Vataraylananing ikki nuqtasini tutashtiruvchi kesma; ingl. chord
Yoyaylananing bir boʻlagi; ingl. arc
Aylana uzunligiaylananing atrofi, L; ingl. circumference
π (pi)aylana uzunligining diametrga nisbati, ≈ 3,14; ingl. pi

Qisqacha

Aylana — chiziq, doira — chiziq va uning ichi.
d = 2r va r = d ÷ 2.
Har qanday aylanada L ÷ d bir xil son beradi — bu π.
π ≈ 3,14 (yoki ²²/₇), lekin aniq emas: uning oʻnlik yozuvi cheksiz.
Aylananing uzunligi bilinsa, diametr topiladi: d = L ÷ π.
π ni Bobildan Samarqandgacha boʻlgan olimlar toʻrt ming yil aniqlashgan; al-Koshiyning 16 xonalik rekordi 180 yil turgan.