Mathematics

PM-71: Aylana uzunligi va doira yuzasi

Ikkita formula: L = 2πr va S = πr². Ikkalasi ham qayerdan chiqqani koʻrsatiladi — doirani boʻlaklarga kesib, toʻgʻri toʻrtburchakka aylantirib.

powerty

Aug. 16, 2026

4 8 min 0

PM-71: Aylana uzunligi va doira yuzasi

Oʻtgan darsda π ni topdik: har qanday aylananing uzunligi diametridan π marta katta. Endi shu bitta jumladan ikkita formula chiqaramiz — biri chegara uchun, ikkinchisi ichi uchun.

Bu ikki formula bilan gʻildirakning yoʻli, gulzorning tuprogʻi, quduq ogʻzining qopqogʻi va hatto pitsaning qaysi biri arzon ekani hisoblanadi.

Bu darsda siz

aylana uzunligini L = 2 × π × r bilan topasiz;
doira yuzasi nega S = π × r² ekanini koʻrasiz;
teskari masalani — uzunlikdan radiusni — yechasiz;
radius ikki marta oshsa, yuza nega toʻrt marta oshishini tushuntirasiz.

Aylana uzunligi L = 2 × π × r = π × d

Doira yuzasi S = π × r²

Chapda — chegara chizigʻining uzunligi (metrlarda). Oʻngda — ichining yuzasi (kvadrat metrlarda).

1. Aylana uzunligi

π = L ÷ d edi (PM-70). Bu tenglikni L ga nisbatan yechsak, formula oʻzi chiqadi:

π = L ÷ d π ning taʼrifi

L = π × d Ikki tomonni d ga koʻpaytirdik

L = 2 × π × r Chunki d = 2r

Ikkala koʻrinish ham bitta formula. Masalada diametr berilsa π × d ni, radius berilsa 2 × π × r ni oling.

r = 5 sm → L = 2 × 3,14 × 5 = 31,4 sm

Radiusi 5 santimetr boʻlgan aylananing uzunligi — 31,4 santimetr.

Avval 2 × 5 = 10, keyin 10 × 3,14 = 31,4. Shu tartib qulayroq.

d = 8 m → L = 3,14 × 8 = 25,12 m

Diametri 8 metr boʻlgan quduq ogʻzining atrofi — 25,12 metr.

Har safar bitta savol bering: bu radiusmi yoki diametr?

Ikkala formula ham toʻgʻri, lekin ular boshqa-boshqa songa qoʻyiladi. 2 × π × r ga radius tushadi, π × d ga esa diametr. Ularni aralashtirib yuborsangiz, javob ikki barobar katta yoki ikki barobar kichik chiqadi. Masala shartida «radiusi» soʻzi bormi yoki «diametri» — hisobni boshlashdan oldin shuni ustiga chizib qoʻying.

Teskari masala — uzunlikdan radiusni topish:

L = 62,8 m Berilgan

d = 62,8 ÷ 3,14 = 20 m Avval diametr (PM-70)

r = 20 ÷ 2 = 10 m Radius — diametrning yarmi

2. Doira yuzasi: doirani kesib, toʻgʻri toʻrtburchak yasaymiz

Yuzani topishning yoʻli oʻtgan darsdagidek (PM-69): shaklni kesib, tanish shaklga aylantiramiz. Doirani markazidan boshlab tortga boʻlingandek boʻlaklarga kesamiz va ularni navbatma-navbat terib chiqamiz.

Oʻn ikkita boʻlak navbatma-navbat terildi. Qancha koʻp kesilsa, shakl toʻgʻri toʻrtburchakka shuncha oʻxshaydi.

Hosil boʻlgan shaklni oʻlchaymiz:

uning boʻyi — har bir boʻlakning uchidan yoyigacha, yaʼni r;
uning eni — yoylarning yarmi tepada, yarmi pastda. Demak eni butun aylananing yarmi: L ÷ 2 = (2 × π × r) ÷ 2 = π × r.

S = eni × boʻyi Toʻgʻri toʻrtburchakning yuzasi (PM-68)

S = (π × r) × r Eni π × r, boʻyi r

S = π × r² r × r = r² (PM-12)

r = 5 sm → S = 3,14 × 25 = 78,5 sm²

Radiusi 5 santimetr boʻlgan doiraning yuzasi — 78,5 kvadrat santimetr.

Avval r² = 25, keyin π ga koʻpaytiriladi — tartib shu (PM-5).

d = 12 sm → r = 6 → S = 3,14 × 36 = 113,04 sm²

Diametri 12 santimetr boʻlgan tarelkaning yuzasi — 113,04 kvadrat santimetr.

Diametr berilsa, avval radiusga oʻting. Yuzada har doim radius ishlaydi.

Uchta eng qimmat xato

1. Yuzaga diametrni qoʻyish: S = π × 12² ✗. Avval r = d ÷ 2.
2. Yuza oʻrniga uzunlikni hisoblash: 2 × π × r ✗. Birlikka qarang — yuza m² da.
3. π ni ham kvadratga koʻtarish: (3,14 × 5)² ✗. Kvadratga faqat radius koʻtariladi.

π ni oxirida koʻpaytiring

Avval r² ni hisoblang — u butun son boʻladi va xatolashish qiyin. π ga koʻpaytirishni esa eng oxiriga qoldiring. Yaʼni 3,14 × 7 × 7 emas, 49 × 3,14. Shu tartib bilan oraliq javoblar toza qoladi va xatoni topish osonlashadi.

3. Halqa: kattadan kichigini ayiring

Doiraviy hovuzning atrofiga yoʻlka quyiladi. Hovuzning radiusi 6 m, yoʻlkaning eni esa 4 m. Yoʻlkaning yuzasi qancha?

Tashqi radius: 6 + 4 = 10 m Hovuz va yoʻlka birgalikda

Katta doira: 3,14 × 100 = 314 m² 10² = 100

Hovuz: 3,14 × 36 = 113,04 m² 6² = 36

314 − 113,04 = 200,96 m² Ortiqchasini ayirdik (PM-69)

4. Radius ikki marta oshsa, yuza toʻrt marta oshadi

Bu doiraning eng ajablantiradigan xossasi va u har kuni ish beradi.

r = 5 sm

S = 3,14 × 5² = 3,14 × 25 = 78,5 sm²

r = 10 sm

S = 3,14 × 10² = 3,14 × 100 = 314 sm²

Radius 2 marta oshdi, yuza esa 314 ÷ 78,5 = 4 marta oshdi. Sababi formulada: r kvadratga koʻtariladi, demak 2 marta oshgan radius 2² = 4 marta koʻp yuza beradi. Xuddi shunday, 3 marta oshsa — 9 marta.

Matnli masala

Afsona pitsa buyurtma qilmoqchi. Ikki xil taklif bor: ikkita kichik pitsa (har birining diametri 20 sm) — 60 000 soʻm, yoki bitta katta pitsa (diametri 30 sm) — 55 000 soʻm.

Qaysi biri koʻproq pitsa beradi va u qimmatroqmi?

Reja: ikkala taklifning ham yuzasini hisoblaymiz va narxlarni solishtiramiz.

Taxmin Katta pitsaning diametri 1,5 marta katta, demak yuzasi 1,5² = 2,25 marta katta boʻlishi kerak. Ikkita kichik pitsa esa atigi 2 marta beradi. Katta pitsa yutadiganga oʻxshaydi.

Kichik: r = 20 ÷ 2 = 10 sm Diametrdan radiusga oʻtdik

3,14 × 100 = 314 sm² Bitta kichik pitsaning yuzasi

314 × 2 = 628 sm² Ikkitasi birgalikda, 60 000 soʻmga

Katta: r = 30 ÷ 2 = 15 sm Yana radiusga oʻtdik

3,14 × 225 = 706,5 sm² Bitta katta pitsa, 55 000 soʻmga

Tekshiramiz

314 × 2,25 = 706,5 ✓ — taxminimiz aynan toʻgʻri chiqdi.
706,5 > 628, yaʼni katta pitsa 78,5 sm² koʻproq beradi — va 5000 soʻm arzon.
Javob: bitta katta pitsa foydaliroq. Koʻz bilan qaraganda ikkita 20 sm bitta 30 sm dan koʻproqdek koʻrinadi — bu aldanish kvadratning ishi.

Koʻp uchraydigan xatolar

d = 10 sm → S = 3,14 × 10² = 314

r = 5 → S = 3,14 × 25 = 78,5 sm²

Formulada radius turadi, diametr emas. Diametrni qoʻysangiz, javob roppa-rosa 4 marta katta chiqadi.

r = 5 → S = 2 × 3,14 × 5 = 31,4 sm²

S = 3,14 × 25 = 78,5 sm²

Bu aylananing uzunligi formulasi. Uzunlik santimetrda, yuza esa kvadrat santimetrda — birlik xatoni darrov koʻrsatadi.

r = 5 → S = (3,14 × 5)² = 246,49

S = 3,14 × 5² = 78,5

Kvadratga faqat radius koʻtariladi, π emas. Amallar tartibiga koʻra daraja koʻpaytirishdan oldin bajariladi (PM-5).

Halqa: (10 − 6)² × 3,14 = 50,24

3,14 × 100 − 3,14 × 36 = 200,96

Radiuslarni ayirib boʻlmaydi — yuzalar ayiriladi. Avval ikkala doirani hisoblang, keyin ayiring.

Mashq

1. Radiusi 3 sm boʻlgan aylananing uzunligi qancha? (π ≈ 3,14)

Javobni koʻrish

18,84 sm. L = 2 × 3,14 × 3 = 6,28 × 3 = 18,84.

2. Diametri 10 m boʻlgan doiraviy hovuzning atrofi qancha?

Javobni koʻrish

31,4 m. L = π × d = 3,14 × 10 = 31,4. Radiusga oʻtish shart emas — diametr berilganda π × d qulayroq.

3. Radiusi 4 sm boʻlgan doiraning yuzasi qancha?

Javobni koʻrish

50,24 sm². S = 3,14 × 4² = 3,14 × 16 = 50,24.

4. Diametri 20 sm boʻlgan tarelkaning yuzasi qancha?

Javobni koʻrish

314 sm². Avval radius: r = 20 ÷ 2 = 10 sm. Keyin: S = 3,14 × 100 = 314 sm².

5. Aylananing uzunligi 43,96 sm. Diametri qancha?

Javobni koʻrish

14 sm. d = L ÷ π = 43,96 ÷ 3,14 = 14. Tekshirish: 14 × 3,14 = 43,96 ✓

6. Halqa: tashqi radiusi 5 m, ichki radiusi 3 m. Halqaning yuzasi qancha?

Javobni koʻrish

50,24 m². Katta doira: 3,14 × 25 = 78,5 m². Kichik doira: 3,14 × 9 = 28,26 m². Ayiramiz: 78,5 − 28,26 = 50,24 m².

7. Jasurning hovlisida doiraviy gulzor bor, radiusi 3 m. Gulzorning atrofiga past panjara qoʻyiladi va ichiga tuproq solinadi. Panjara necha metr kerak (butun metrgacha yuqoriga yaxlitlang) va tuproq necha kvadrat metr joyga solinadi?

Javobni koʻrish

Panjara — 19 m, tuproq — 28,26 m². Panjara chegara boʻylab ketadi, demak aylana uzunligi: L = 2 × 3,14 × 3 = 18,84 m → 19 m (PM-14). Tuproq esa ichga solinadi, demak yuza: S = 3,14 × 9 = 28,26 m². Birliklarga qarang — biri metrda, ikkinchisi kvadrat metrda.