PM-72: Oʻxshashlik va masshtab: kichik chizma, katta dunyo
Xarita, reja va fotosurat — hammasi bitta gʻoyaga tayanadi: shakl oʻsha, oʻlcham boshqa. Oʻxshash uchburchaklar bilan minorani oʻlchashni va masshtab bilan ishlashni oʻrganasiz.
PM-72: Oʻxshashlik va masshtab: kichik chizma, katta dunyo
Xaritada Toshkent bir necha santimetr. Fotosuratda maktabingiz kaftga sigʻadi. Oʻyinchoq mashina esa haqiqiysining aynan kichraytirilgan nusxasi.
Hammasida bitta gʻoya ishlaydi: shakl oʻsha, oʻlcham boshqa. Shu gʻoya bilan qoʻlingizni ham tekkiza olmaydigan minoraning balandligini oʻlchash mumkin.
Bu darsda siz
- oʻxshash shakllarni tanib, oʻxshashlik koeffitsientini topasiz;
- ikkita burchagi teng uchburchaklar oʻxshash ekanini ishlatasiz;
- soya orqali daraxt yoki bino balandligini hisoblaysiz;
- masshtabni ikki tomonga — chizmadan hayotga va aksincha — oʻgirasiz.
1. Oʻxshash shakl nima
Ikki shakl oʻxshash deyiladi, agar biri ikkinchisining aniq kattalashtirilgan (yoki kichraytirilgan) nusxasi boʻlsa. Bunda burchaklar oʻzgarmaydi, tomonlar esa hammasi bir xil marta oʻzgaradi. Oʻsha «bir xil marta» — oʻxshashlik koeffitsienti, k harfi bilan belgilanadi.
Tekshiramiz — mos tomonlarni bir-biriga boʻlamiz:
«Teng» va «oʻxshash» — bir narsa emas
Teng shakllar bir-biriga toʻliq ustma-ust tushadi: ham shakli, ham oʻlchami bir xil. Oʻxshash shakllarda esa faqat shakl bir xil, oʻlcham har xil boʻlishi mumkin. Teng shakllar — oʻxshashlikning k = 1 boʻlgan xususiy holati.
2. Uchburchaklar uchun ikkita burchak yetarli
Umuman olganda oʻxshashlikni tekshirish uchun hamma tomonni oʻlchash kerak. Lekin uchburchakda ancha oson yoʻl bor.
Ikki burchak qoidasi
Agar bir uchburchakning ikkita burchagi ikkinchisining ikkita burchagiga teng boʻlsa, bu uchburchaklar oʻxshash.
Nega ikkitasi yetarli? Chunki uchburchakda burchaklar yigʻindisi 180° (PM-61). Ikkitasi mos tushsa, uchinchisi oʻz-oʻzidan mos tushadi — uni tekshirishning hojati yoʻq.
90° va 37° ↔ 90° va 37° → oʻxshash
Ikkala uchburchakda ham toʻgʻri burchak va 37 gradusli burchak bor, demak ular oʻxshash.
Uchinchi burchak ikkalasida ham 180 − 90 − 37 = 53°.
3. Soya usuli: minoraga tegmasdan uni oʻlchash
Quyosh juda uzoqda, shuning uchun uning nurlari yerga parallel tushadi (PM-60). Demak bir vaqtning oʻzida oʻlchangan hamma soya bir xil burchak ostida tushadi.
Ikkala uchburchakda ham toʻgʻri burchak bor (narsa yerga tik turibdi) va quyosh nuri bilan yer orasidagi burchak bir xil. Ikkita burchak mos tushdi — demak uchburchaklar oʻxshash.
Tekshiramiz
9 ÷ 12 = 0,75 va 1,5 ÷ 2 = 0,75 ✓ — nisbatlar bir xil.
Daraxt odamdan 6 marta baland, soyasi ham 6 marta uzun
(12 ÷ 2 = 6) ✓
Nisbatni toʻgʻri tomonga yozing
«Boʻy ÷ soya» ikkala shaklda ham bir xil chiqadi. Agar birida boʻyni soyaga, ikkinchisida soyani boʻyga boʻlsangiz, javob teskari chiqadi. Yozib qoʻying: oʻxshash narsalarning bir xil nomli tomonlari bir xil nomlisi bilan taqqoslanadi.
4. Masshtab
Masshtab — chizmadagi uzunlik haqiqiy uzunlikdan necha marta kichik ekanini koʻrsatadi (PM-28). M 1 : 50 degani: chizmadagi 1 santimetr hayotdagi 50 santimetr.
| Masshtab | Chizmadagi 1 sm | Qayerda ishlatiladi |
|---|---|---|
| 1 : 50 | 50 sm | xona rejasi |
| 1 : 100 | 1 m | uy rejasi |
| 1 : 50 000 | 500 m | shahar xaritasi |
7 × 50 000 = 350 000 sm = 3,5 km
1 : 50 000 masshtabli xaritada 7 santimetr — hayotda 3,5 kilometr.
350 000 sm = 3500 m = 3,5 km. Birliklarni bosqichma-bosqich oʻgiring, birdan sakramang.
1 : 50 — bu «50 marta katta» emas
Chapdagi 1 — chizma, oʻngdagi 50 — hayot. Yaʼni chizma 50 marta kichik. Chizmadan hayotga oʻtayotganda koʻpaytiriladi, hayotdan chizmaga oʻtayotganda boʻlinadi. Adashsangiz, sinf xonangiz 450 metr chiqib qoladi.
5. Yuza esa k marta emas, k2 marta oʻsadi
Bu yerda deyarli hamma adashadi. Tomonlar 3 marta oshsa, yuza 9 marta oshadi — chunki yuzada ikkita oʻlcham ham koʻpayadi.
Kichik: 2 sm × 3 sm
S = 6 sm2
Katta: 6 sm × 9 sm
S = 54 sm2
Tomonlar k = 3 marta oshdi, yuza esa 54 ÷ 6 = 9 marta, yaʼni 32 marta. Xuddi shu qoidani PM-71 da doirada koʻrgan edik: radius 2 marta oshganda yuza 4 marta oshgan edi.
Matnli masala
Bekzod sinf xonasining rejasini chizmoqchi. Xona 9 metr uzunlikda va 6 metr enda. Uning qoʻlida A4 qogʻoz bor: 21 sm × 29,7 sm.
1 : 50 masshtabda reja qogʻozga sigʻadimi? 1 : 25 masshtabda-chi?
Reja: har bir masshtab uchun chizmaning oʻlchamini topamiz va qogʻoz bilan solishtiramiz.
Tekshiramiz
18 × 50 = 900 sm = 9 m ✓ va 12 × 50 = 600 sm = 6 m ✓
Javob: 1 : 50 da sigʻadi, 1 : 25 da sigʻmaydi.
Koʻp uchraydigan xatolar
1 : 50 masshtab → chizmadagi 18 sm hayotda 18 ÷ 50 = 0,36 sm
18 × 50 = 900 sm = 9 m
Chizmadan hayotga oʻtishda koʻpaytiriladi. Yoʻnalishni har doim tekshiring: hayotdagi son kattaroq boʻlishi kerak.
Soya: h = 1,5 × 2 ÷ 12 = 0,25 m
h = 1,5 × 12 ÷ 2 = 9 m
Nisbat teskari yozilgan. Daraxt odamdan baland, demak javob 1,5 dan katta chiqishi shart. 0,25 m — bir qarichgina daraxt.
Tomonlar 3 marta oshdi → yuza ham 3 marta oshadi
Yuza 32 = 9 marta oshadi
Yuzada ikkita oʻlcham bor va ikkalasi ham 3 marta oshadi: 3 × 3 = 9. Chizib koʻring — katta toʻrtburchakka kichigidan roppa-rosa toʻqqiztasi sigʻadi.
Oʻxshashlik: 9 ÷ 3 = 3, lekin 12 ÷ 5 = 2,4 — baribir oʻxshash
Mos tomonlar notoʻgʻri juftlangan
4 ga 12, 5 ga 15 mos keladi — eng kichik eng kichigiga, eng kattasi eng kattasiga. Juftlashni chalkashtirsangiz, koeffitsient har xil chiqadi.
Mashq
1. Oʻxshash uchburchaklarning kichigida tomonlar 4 sm va 6 sm. Kattasida 4 sm ga mos tomon 12 sm. Ikkinchi tomoni qancha?
Javobni koʻrish
18 sm. Avval koeffitsient: k = 12 ÷ 4 = 3. Keyin ikkinchi tomon: 6 × 3 = 18 sm.
2. Oʻxshashlik koeffitsienti k = 2,5. Kichik shaklning tomoni 6 sm boʻlsa, kattasiniki qancha?
Javobni koʻrish
15 sm. 6 × 2,5 = 15.
3. 1 : 100 masshtabli rejada devor 7 sm. Haqiqiy uzunligi qancha?
Javobni koʻrish
7 m. 7 × 100 = 700 sm = 7 m.
4. 1 : 50 000 masshtabli xaritada ikki qishloq orasi 4 sm. Haqiqiy masofa necha kilometr?
Javobni koʻrish
2 km. 4 × 50 000 = 200 000 sm = 2000 m = 2 km.
5. Ustun 2 m, soyasi 3 m. Shu payt binoning soyasi 24 m. Bino necha metr?
Javobni koʻrish
16 m. Nisbat: 2 ÷ 3. Demak h = 24 × 2 ÷ 3 = 48 ÷ 3 = 16 m. Tekshirish: 16 ÷ 24 = 0,666… va 2 ÷ 3 = 0,666… ✓
6. Afsonaning surati 8 sm × 12 sm. U suratni kattalashtirdi va uzun tomoni 30 sm boʻldi. Qisqa tomoni qancha boʻladi va yuzasi necha marta oshadi?
Javobni koʻrish
20 sm, yuzasi 6,25 marta oshadi. Koeffitsient: k = 30 ÷ 12 = 2,5. Qisqa tomon: 8 × 2,5 = 20 sm. Yuzalar: 8 × 12 = 96 sm2 va 20 × 30 = 600 sm2; 600 ÷ 96 = 6,25 — bu aynan 2,52.
Kalit soʻzlar
- Oʻxshash shakllarshakli bir xil, oʻlchami har xil shakllar; ingl. similar figures
- Oʻxshashlik koeffitsientitomonlar necha marta farq qilishi, k; ingl. scale factor
- Mos tomonlarbir shakldagi tomonga ikkinchisidagi oʻrni bir xil tomon; ingl. corresponding sides
- Mos burchaklaroʻxshash shakllardagi teng burchaklar; ingl. corresponding angles
- Teng shakllarham shakli, ham oʻlchami bir xil shakllar; ingl. congruent figures
- Masshtabchizma va haqiqat orasidagi nisbat; ingl. scale
- Rejayuqoridan koʻrinishdagi masshtabli chizma; ingl. plan
- Nisbatikki sonning bir-biriga boʻlinmasi; ingl. ratio
- Proporsiyaikki nisbatning tengligi; ingl. proportion
Qisqacha
- Oʻxshash shakllarda burchaklar teng, tomonlar k marta farq qiladi.
- Uchburchaklar uchun ikkita teng burchak yetarli.
- Soya usuli: boʻy ÷ soya ikkala narsada ham bir xil.
- M 1 : 50 — chizma 50 marta kichik. Chizmadan hayotga koʻpaytiring, hayotdan chizmaga boʻling.
- Tomonlar k marta oshsa, yuza k2 marta oshadi.
- Javobni har doim mantiqqa solib koʻring: daraxt odamdan baland chiqishi kerak.